「口袋数学」数学七上：去绝对值符号的方法和技巧，必考，提分点

绝对值是数学中的一个基本概念，这一概念是学习相反数、有理数运算、算术根的基础；绝对值又是数学中的一个重要的概念，绝对值与其他知识融合形成绝对值方程、绝对值不等式、绝对值函数等，在代数式化简求值、解方程、解不等式等方面有广泛的应用。

去掉绝对值符号是解与绝对值有关问题的关键。基本形式有：

（1） 直接去掉绝对值符号；

（2） 运用分类讨论的方法去掉绝对值符号。

在具体讨论中，涉及多个字母时，要考虑各个字母取值的所有情形，与多个绝对值相关时，要用到零点分段讨论法。

求零点、分区间、定性质、去符号是零点分段讨论法解题的一般步骤。即令各绝对值式子为零，得若干个绝对值为零的点，这些点把数轴分成若干个部分，再在各部分内化简求值。

典型例题讲解

例1.满足 |2a+7|+|2a-1|=8 的整数 a 的个数有（ ）

A. 9 个 B. 8 个

C. 5 个 D. 4 个

【分析】

先令2a+7=0，2a-1=0求出a的值，再分情况讨论绝对值里面代数式的符号去掉绝对值符号，求出符合条件的a值.

【解答】

令2a+7=0，2a-1=0，解得， a=-7/2，a=1/2

1）当 a≤-7/2 时，去绝对值符号得 -2a-7-2a+1=8，解得a=-7/2，不是整数，舍去。

2）当-7/2<a<1/2 时，去绝对值符号得 2a+7-2a+1=8，得0=0，

所以a为任何数，满足条件的整数a有-3，-2，-1，0.

3）当a≥1/2 时，去绝对值符号得 2a+7+2a-1=8，解得a=1/2，不是整数，舍去。

综上，a为-3，-2，-1，0.，故D符合题意.

故答案为：D.

举一反三练习

1. 已知|a﹣1|=9，|b+2|=6，且a+b＜0，求a﹣b的值________．

2. 求满足|a-b|+ab=1的非负整数对．

3. 已知a，b，c，d分别是一个四位数的千位，百位，十位，个位上的数字，且低位上的数字不小于高位上的数字，当

取得最大值时，这个四位数的最小值是________．

参考答案解析

1. 【答案】 ﹣12或0

【解答】∵|a﹣1|=9，|b+2|=6，∴a=﹣8或10，b=﹣8或4．

∵a+b＜0，∴a=﹣8，b=﹣8或4．

当a=﹣8，b=﹣8时，a﹣b=﹣8﹣（﹣8）=0；

当a=﹣8，b=4时，a﹣b=﹣8﹣4=﹣12．

综上所述：a﹣b的值为0或﹣12．

2. 【答案】

解法一：

∵|a-b|≥0，

∴-|a-b|≤0，

∴1-|a-b|≤1，

又∵|a-b|+ab=1，

∴1-|a-b|=ab，

∴ab≤1，

又∵a、b是非负整数，

∴a=1，b=1；a=1，b=0；a=0，b=1；

∴满足条件的非负整数对为：（1，0），（1，1），（0，1）.

解法二：

①当a≥b时，

∴a-b+ab=1，

即（b+1）（a-1）=0，

∵b≥0，

∴a=1，

∴（1，0），（1，1），

②当a＜b时，

∴-a+b+ab=1，

即（b-1）（a+1）=0，

∵a≥0，

∴b=1，

∴（0，1），

综上所述：满足条件的非负整数对为：（1，0），（1，1），（0，1）.

3. 【答案】1119

【解答】若使

的值最大，则最低位数字最大为d＝9，最高位数字最小为a＝1即可，同时为使|c－d|最大，则c应最小，且使低位上的数字不小于高位上的数字，所以c为1，此时b只能为1，所以此数为1119，故答案为1119.

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